3D圖形:矩陣、歐拉角、四元數(shù)與方位的故事

1、角位移是方向上的變化（例如，從舊方位到新方位的角位移，或者從慣性坐標(biāo)系到物體坐標(biāo)系的角位移），“方位”是一個(gè)單一的狀態(tài)，“角位移”是描述兩個(gè)狀態(tài)之間的差別。

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2、在游戲開發(fā)中，經(jīng)常會(huì)接觸到旋轉(zhuǎn)，常用的旋轉(zhuǎn)方式有使用矩陣旋轉(zhuǎn)，使用歐拉角旋轉(zhuǎn)和使用四元數(shù)旋轉(zhuǎn)。在本篇中，主要研究歐拉角和四元數(shù)。

3、四元數(shù)使用四個(gè)數(shù)來表達(dá)方位，因此命名為四元數(shù)用三個(gè)數(shù)來表達(dá)3D方位，一定會(huì)導(dǎo)致萬(wàn)向鎖的問題。一個(gè)四元數(shù)包含一個(gè)標(biāo)量分量和一個(gè)3D向量分量。

4、四元素與歐拉角之間的轉(zhuǎn)換 在3D圖形學(xué)中，最常用的旋轉(zhuǎn)表示方法便是四元數(shù)和歐拉角，比起矩陣來具有節(jié)省存儲(chǔ)空間和方便插值的優(yōu)點(diǎn)。

歐拉角說明

1、歐拉角包括3個(gè)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)這3個(gè)旋轉(zhuǎn)來指定一個(gè)剛體的朝向。這3個(gè)旋轉(zhuǎn)分別繞x軸，y軸和z軸，分別稱為Pitch，Yaw和Roll，如下圖所示。歐拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋轉(zhuǎn)的順序影響結(jié)果。

2、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體通常用歐拉角ψ、θ、φ來定位。剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為： 式中t為時(shí)間。達(dá)朗伯－歐拉定理 　可表述為：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的任何有限位移可用繞某軸的一次轉(zhuǎn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)，該軸通過剛體的固定點(diǎn)。

3、說明幾點(diǎn)：輸出的歐拉角單位是弧度；歐拉角的定義有很多種，應(yīng)用在不同的領(lǐng)域（有時(shí)用的名字，例如 Tait-Bryan角）。

4、我喜歡華羅庚。理由：華羅庚一生都奉獻(xiàn)給了中國(guó)數(shù)學(xué)，他先后開創(chuàng)了中國(guó)解析數(shù)論、矩陣幾 何學(xué)型群、自安函數(shù)論等，被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”、“人民科學(xué)家”。華羅庚被芝加哥大學(xué)列人“當(dāng)今世界88位數(shù)學(xué)偉人”之一。

5、為了后面的說明的需要，我們來仔細(xì)考察下面的一個(gè)很有意思的例子。

6、基本調(diào)用格式：[r1 r2 r3] = quat2angle(q)[r1 r2 r3] = quat2angle(q， s)其中q為四元數(shù)，r1-r3為歐拉角，s為歐拉轉(zhuǎn)序（rotation sequence，有的資料譯成“順規(guī)”）。

VR-四元素、歐拉角轉(zhuǎn)換條件

軸角到旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)換； 第二個(gè)式子即表明角到旋轉(zhuǎn)矩陣R的轉(zhuǎn)換； 第三個(gè)式子中即軸經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后不變，轉(zhuǎn)軸 時(shí)矩陣 特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量。

四元數(shù)到歐拉角的轉(zhuǎn)換 arctan和arcsin的結(jié)果是，這并不能覆蓋所有朝向(對(duì)于θ角的取值范圍已經(jīng)滿足)，因此需要用atan2來代替arctan。在其他坐標(biāo)系下使用 在其他坐標(biāo)系下，需根據(jù)坐標(biāo)軸的定義，調(diào)整一下以上公式。

p=((x，y，z)，0) 其中x，y，z為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，w量為0方便計(jì)算（其他數(shù)值也可以，不過轉(zhuǎn)換后結(jié)果不會(huì)有影響，我們只關(guān)注坐標(biāo)量x，y，z）。

二者可以相互轉(zhuǎn)換。四元數(shù)的性質(zhì)包括滿足結(jié)合律 不滿足交換律 乘積的模等于模的乘積 乘積的逆等于各個(gè)四元數(shù)的逆以相反的順序相乘。歐拉角的缺點(diǎn)包括 歐拉角的表示方式不唯一。

[r1 r2 r3] = quat2angle(q)[r1 r2 r3] = quat2angle(q， s)其中q為四元數(shù)，r1-r3為歐拉角，s為歐拉轉(zhuǎn)序（rotation sequence，有的資料譯成“順規(guī)”）。

歐拉角是什么

1、歐拉角來描述剛體在三維歐幾里得空間的取向。對(duì)于任何參考系，一個(gè)剛體的取向，是依照順序，從這參考系，做三個(gè)歐拉角的旋轉(zhuǎn)而設(shè)定的。 為歐拉首先提出而得名。它們有多種取法，下面是常見的一種。

2、歐拉角是用來確定定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體位置的3個(gè)一組獨(dú)立角參量，由章動(dòng)角θ、旋進(jìn)角（即進(jìn)動(dòng)角）ψ和自轉(zhuǎn)角j組成，因?yàn)闅W拉首先提出而得名。

3、據(jù)公開資料顯示；歐拉角是一種描述剛體在三維空間中姿態(tài)的方法，通過三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度描述剛體的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中，歐拉角常常用于飛行器、機(jī)器人、航天器等領(lǐng)域，用來描述物體的姿態(tài)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

4、歐拉角包括3個(gè)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)這3個(gè)旋轉(zhuǎn)來指定一個(gè)剛體的朝向。這3個(gè)旋轉(zhuǎn)分別繞x軸，y軸和z軸，分別稱為Pitch，Yaw和Roll，如下圖所示。歐拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋轉(zhuǎn)的順序影響結(jié)果。

5、歐拉角是表達(dá)旋轉(zhuǎn)的最簡(jiǎn)單的一種方式，形式上它是一個(gè)三維向量，其值分別代表物體繞坐標(biāo)系三個(gè)軸(x，y，z軸）的旋轉(zhuǎn)角度。這樣的話，很容易想到，同樣的一個(gè)三維向量，代表了繞x，y，z的旋轉(zhuǎn)值。

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