有一種很有意思的游戲，就是有物體若干堆，可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。兩個人輪流從堆中取物

體若干，規(guī)定最后取光物體者取勝。這是我國民間很古老的一個游戲，別看這游戲極其簡單，卻蘊含著深

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刻的數(shù)學(xué)原理。下面我們來分析一下要如何才能夠取勝。

（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規(guī)定每次至少取一個

，最多取m個。最后取光者得勝。

   顯然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，后取者都能夠一次

拿走剩余的物品，后者取勝。因此我們發(fā)現(xiàn)了如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s，（r為任意自然數(shù)，s

≤m),那么先取者要拿走s個物品，如果后取者拿走k（≤m)個，那么先取者再拿走m+1-k個，結(jié)果剩下

（m+1）（r-1）個，以后保持這樣的取法，那么先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍

數(shù)，就能最后獲勝。
   這個游戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數(shù)，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100

者勝。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣

多的物品，規(guī)定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。
   這種情況下是頗為復(fù)雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數(shù)量

并稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那么甲已經(jīng)輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是

：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12

，20）。
   可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù),而 bk= ak + k，奇異局勢有
如下三條性質(zhì)：

   1。任何自然數(shù)都包含在一個且僅有一個奇異局勢中。
   由于ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù)，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1

> ak-1 。所以性質(zhì)1。成立。
   2。任意操作都可將奇異局勢變?yōu)榉瞧娈惥謩荨?br />   事實上，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某一個分量，那么另一個分量不可能在其他奇異局勢中，所

以必然是非奇異局勢。如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由于其差不變，且不可能是其他奇異局

勢的差，因此也是非奇異局勢。
   3。采用適當(dāng)?shù)姆椒?，可以將非奇異局勢變?yōu)槠娈惥謩荨?/p>

   假設(shè)面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變?yōu)榱似娈惥謩荩?，0）

；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk個物體，即變?yōu)槠娈惥謩?；如?a = ak ， b < bk ,則同

時從兩堆中拿走 ak - ab - ak個物體,變?yōu)槠娈惥謩荩?ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，

b= ak + k,則從第一堆中拿走多余的數(shù)量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，

a=aj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - aj

即可。

   從如上性質(zhì)可知，兩個人如果都采用正確操作，那么面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則后拿者

取勝。

   那么任給一個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：
   ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括號表示取整函數(shù))
奇妙的是其中出現(xiàn)了黃金分割數(shù)（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk組成的矩形近似為黃金矩形，

由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj

= aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇異局勢。然后再按

照上述法則進行，一定會遇到奇異局勢。

（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規(guī)定每次

至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。

   這種情況最有意思，它與二進制有密切關(guān)系，我們用（a，b，c）表示某種局勢，首先（0，0，0）顯

然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是（0，n，n），只要與對手拿走一

樣多的物品，最后都將導(dǎo)致（0，0，0）。仔細(xì)分析一下，（1，2，3）也是奇異局勢，無論對手如何拿，

接下來都可以變?yōu)椋?，n，n）的情形。

   計算機算法里面有一種叫做按位模2加，也叫做異或的運算，我們用符號（+）表示這種運算。這種運

算和一般加法不同的一點是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的結(jié)果：

1 =二進制01
2 =二進制10
3 =二進制11 （+）
———————
0 =二進制00 （注意不進位）

   對于奇異局勢（0，n，n）也一樣，結(jié)果也是0。

   任何奇異局勢（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。

如果我們面對的是一個非奇異局勢（a，b，c），要如何變?yōu)槠娈惥謩菽?？假設(shè) a < b< c,我們只要將 c

變?yōu)?a（+）b,即可,因為有如下的運算結(jié)果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）

0=0。要將c 變?yōu)閍（+）b，只要從 c中減去 c-（a（+）b）即可。

   例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以從39中拿走12個物體即可達到奇異局勢（14

，21，27）。

   例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以從121中拿走19個物品就形成了奇異局勢

（55，81，102）。

   例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，從58中拿走10個，變?yōu)椋?9，45，48）。

   例4。我們來實際進行一盤比賽看看：
        甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇異局勢
        乙:(1,8,9)->(1,8,4)
        甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇異局勢
        乙:(1,5,4)->(1,4,4)
        甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇異局勢
        乙:(0,4,4)->(0,4,2)
        甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇異局勢
        乙:(0,2,2)->(0,2,1)
        甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇異局勢
        乙:(0,1,1)->(0,1,0)
        甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇異局勢
        甲勝。

本文標(biāo)題：【轉(zhuǎn)】博弈論——取石子問題-創(chuàng)新互聯(lián)
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