今天小編給大家分享一下python怎么實(shí)現(xiàn)梯度下降求解邏輯回歸的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，內(nèi)容詳細(xì)，邏輯清晰，相信大部分人都還太了解這方面的知識(shí)，所以分享這篇文章給大家參考一下，希望大家閱讀完這篇文章后有所收獲，下面我們一起來(lái)了解一下吧。

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線性回歸

1.線性回歸函數(shù)

似然函數(shù)的定義：給定聯(lián)合樣本值X下關(guān)于(未知)參數(shù) 的函數(shù)

似然函數(shù)：什么樣的參數(shù)跟我們的數(shù)據(jù)組合后恰好是真實(shí)值

2.線性回歸似然函數(shù)

對(duì)數(shù)似然：

3.線性回歸目標(biāo)函數(shù)

（誤差的表達(dá)式，我們的目的就是使得真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之前的誤差最?。?/p>

（導(dǎo)數(shù)為0取得極值，得到函數(shù)的參數(shù)）

邏輯回歸

邏輯回歸是在線性回歸的結(jié)果外加一層Sigmoid函數(shù)

1.邏輯回歸函數(shù)

2.邏輯回歸似然函數(shù)

前提數(shù)據(jù)服從伯努利分布

對(duì)數(shù)似然：

引入 轉(zhuǎn)變?yōu)樘荻认陆等蝿?wù)，邏輯回歸目標(biāo)函數(shù)

梯度下降法求解

我的理解就是求導(dǎo)更新參數(shù)，達(dá)到一定條件后停止，得到近似最優(yōu)解

代碼實(shí)現(xiàn)

Sigmoid函數(shù)

def sigmoid(z):    
   return 1 / (1 + np.exp(-z))

預(yù)測(cè)函數(shù)

def model(X, theta):    
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

目標(biāo)函數(shù)

def cost(X, y, theta):    
     left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))    
     right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))    
     return np.sum(left - right) / (len(X))

梯度

def gradient(X, y, theta):    
  grad = np.zeros(theta.shape)    
  error = (model(X, theta)- y).ravel()    
  for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter        
     term = np.multiply(error, X[:,j])        
     grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)    
   return grad

梯度下降停止策略

STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2
 
def stopCriterion(type, value, threshold):
    # 設(shè)定三種不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:  # 設(shè)定迭代次數(shù)
        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:  # 根據(jù)損失值停止
        return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:  # 根據(jù)梯度變化停止
        return np.linalg.norm(value) < threshold

樣本重新洗牌

import numpy.random
#洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

梯度下降求解

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    # 梯度下降求解
 
    init_time = time.time()
    i = 0  # 迭代次數(shù)
    k = 0  # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape)  # 計(jì)算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)]  # 損失值
 
    while True:
        grad = gradient(X[k:k + batchSize], y[k:k + batchSize], theta)
        k += batchSize  # 取batch數(shù)量個(gè)數(shù)據(jù)
        if k >= n:
            k = 0
            X, y = shuffleData(data)  # 重新洗牌
        theta = theta - alpha * grad  # 參數(shù)更新
        costs.append(cost(X, y, theta))  # 計(jì)算新的損失
        i += 1
 
        if stopType == STOP_ITER:
            value = i
        elif stopType == STOP_COST:
            value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:
            value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
 
    return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time

完整代碼

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import os
import numpy.random
import time
 
 
def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))
 
 
def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))
 
 
def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))
 
 
def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = (model(X, theta) - y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())):  # for each parmeter
        term = np.multiply(error, X[:, j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
    return grad
 
 
STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2
 
 
def stopCriterion(type, value, threshold):
    # 設(shè)定三種不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:  # 設(shè)定迭代次數(shù)
        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:  # 根據(jù)損失值停止
        return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:  # 根據(jù)梯度變化停止
        return np.linalg.norm(value) < threshold
 
 
# 洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols - 1]
    y = data[:, cols - 1:]
    return X, y
 
 
def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    # 梯度下降求解
 
    init_time = time.time()
    i = 0  # 迭代次數(shù)
    k = 0  # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape)  # 計(jì)算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)]  # 損失值
 
    while True:
        grad = gradient(X[k:k + batchSize], y[k:k + batchSize], theta)
        k += batchSize  # 取batch數(shù)量個(gè)數(shù)據(jù)
        if k >= n:
            k = 0
            X, y = shuffleData(data)  # 重新洗牌
        theta = theta - alpha * grad  # 參數(shù)更新
        costs.append(cost(X, y, theta))  # 計(jì)算新的損失
        i += 1
 
        if stopType == STOP_ITER:
            value = i
        elif stopType == STOP_COST:
            value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:
            value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
 
    return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time
 
 
def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    # import pdb
    # pdb.set_trace()
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:, 1] > 2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize == n:
        strDescType = "Gradient"  # 批量梯度下降
    elif batchSize == 1:
        strDescType = "Stochastic"  # 隨機(jī)梯度下降
    else:
        strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)  # 小批量梯度下降
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER:
        strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST:
        strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else:
        strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta
 
 
path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1]
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0]
 
# 畫(huà)圖觀察樣本情況
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')
 
pdData.insert(0, 'Ones', 1)
 
# 劃分訓(xùn)練數(shù)據(jù)與標(biāo)簽
orig_data = pdData.values
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:, 0:cols - 1]
y = orig_data[:, cols - 1:cols]
# 設(shè)置初始參數(shù)0
theta = np.zeros([1, 3])
 
# 選擇的梯度下降方法是基于所有樣本的
n = 100
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)
runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)
 
from sklearn import preprocessing as pp
 
# 數(shù)據(jù)預(yù)處理
scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])
 
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)
theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002 / 5, alpha=0.001)
runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002 * 2, alpha=0.001)
 
 
# 設(shè)定閾值
def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]
 
 
# 計(jì)算精度
scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

邏輯回歸的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)

• 形式簡(jiǎn)單，模型的可解釋性非常好。從特征的權(quán)重可以看到不同的特征對(duì)最后結(jié)果的影響，某個(gè)特征的權(quán)重值比較高，那么這個(gè)特征最后對(duì)結(jié)果的影響會(huì)比較大。

• 模型效果不錯(cuò)。在工程上是可以接受的（作為baseline)，如果特征工程做的好，效果不會(huì)太差，并且特征工程可以大家并行開(kāi)發(fā)，大大加快開(kāi)發(fā)的速度。

• 訓(xùn)練速度較快。分類(lèi)的時(shí)候，計(jì)算量?jī)H僅只和特征的數(shù)目相關(guān)。并且邏輯回歸的分布式優(yōu)化sgd發(fā)展比較成熟，訓(xùn)練的速度可以通過(guò)堆機(jī)器進(jìn)一步提高，這樣我們可以在短時(shí)間內(nèi)迭代好幾個(gè)版本的模型。

• 資源占用小,尤其是內(nèi)存。因?yàn)橹恍枰鎯?chǔ)各個(gè)維度的特征值。

• 方便輸出結(jié)果調(diào)整。邏輯回歸可以很方便的得到最后的分類(lèi)結(jié)果，因?yàn)檩敵龅氖敲總€(gè)樣本的概率分?jǐn)?shù)，我們可以很容易的對(duì)這些概率分?jǐn)?shù)進(jìn)行cutoff，也就是劃分閾值(大于某個(gè)閾值的是一類(lèi)，小于某個(gè)閾值的是一類(lèi))。

缺點(diǎn)

• 準(zhǔn)確率并不是很高。因?yàn)樾问椒浅５暮?jiǎn)單(非常類(lèi)似線性模型)，很難去擬合數(shù)據(jù)的真實(shí)分布。

• 很難處理數(shù)據(jù)不平衡的問(wèn)題。舉個(gè)例子：如果我們對(duì)于一個(gè)正負(fù)樣本非常不平衡的問(wèn)題比如正負(fù)樣本比 10000:1.我們把所有樣本都預(yù)測(cè)為正也能使損失函數(shù)的值比較小。但是作為一個(gè)分類(lèi)器，它對(duì)正負(fù)樣本的區(qū)分能力不會(huì)很好。

• 處理非線性數(shù)據(jù)較麻煩。邏輯回歸在不引入其他方法的情況下，只能處理線性可分的數(shù)據(jù)，或者進(jìn)一步說(shuō)，處理二分類(lèi)的問(wèn)題 。

• 邏輯回歸本身無(wú)法篩選特征。有時(shí)候，我們會(huì)用gbdt來(lái)篩選特征，然后再上邏輯回歸。

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