什么是反比例函數(shù)

一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=k/x (k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。 因?yàn)閥=k/x是一個分式，所以自變量X的取值范圍是X≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x^（-1）。

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目錄

反比例函數(shù)定義

反比例函數(shù)表達(dá)式

自變量的取值范圍

反比例函數(shù)圖象

k的意義及應(yīng)用

反比例函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性

相交性

面積

圖像

對稱性

與正比例函數(shù)交點(diǎn)

反比例函數(shù)的應(yīng)用舉例

畫法

典型題目反比例函數(shù)定義

反比例函數(shù)表達(dá)式

自變量的取值范圍

反比例函數(shù)圖象

k的意義及應(yīng)用

反比例函數(shù)性質(zhì) 單調(diào)性

相交性

面積

圖像

對稱性

與正比例函數(shù)交點(diǎn)

反比例函數(shù)的應(yīng)用舉例

畫法

典型題目展開 編輯本段反比例函數(shù)定義

函數(shù)y=k/x（k為常數(shù)且k≠0）叫做反比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)，x是自變量，y是自變量x的函數(shù)，x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

編輯本段反比例函數(shù)表達(dá)式

X是自變量，Y是X的函數(shù) y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） （即：y等于x的負(fù)一次方，此處X必須為一次方） y=k\x(k為常數(shù)且k≠0，x≠0） 若y=k/nx此時比例系數(shù)為：k/n

編輯本段自變量的取值范圍

① k ≠ 0； ②在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實(shí)數(shù)；③函數(shù) y 的取值范圍也是任意非零實(shí)數(shù)。 解析式　y=k/x 其中X是自變量，Y是X的函數(shù)，其定義域是不等于0的一切實(shí)數(shù) y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） y=k\x(k為常數(shù)(k≠0），x不等于0）

編輯本段反比例函數(shù)圖象

反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱的雙曲線（hyperbola）,

反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標(biāo)軸相交（K≠0）。

編輯本段k的意義及應(yīng)用

過反比例函數(shù)y=k/x（k≠0），圖像上一點(diǎn)P（x,y），作兩坐標(biāo)軸的垂線，兩垂足、原點(diǎn)、P點(diǎn)組成一個矩形，矩形的面積 S=x的絕對值*y的絕對值=（x*y）的絕對值=|k| 研究函數(shù)問題要透視函數(shù)的本質(zhì)特征。反比例函數(shù)中，比例系數(shù)k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。 所以，對雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數(shù)。從而有k的絕對值。在解有關(guān)反比例函數(shù)的問題時，若能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。

編輯本段反比例函數(shù)性質(zhì)

單調(diào)性

當(dāng)k0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。 k0時，函數(shù)在x0上同為減函數(shù)、在x0上同為減函數(shù)；k0時，函數(shù)在x0上為增函數(shù)、在x0上同為增函數(shù)。

相交性

因?yàn)樵趛=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。

面積

在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1=S2=|K| 反比例上一點(diǎn)m向x、y分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點(diǎn)）的面積為|k|

圖像

反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。 反比例函數(shù)圖像不與x軸和y軸相交。y=k/x的漸近線：x軸與y軸。 k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。 k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。

對稱性

反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點(diǎn)；反比例函數(shù)的圖像也是軸對稱圖形，它的對稱軸是x軸和y軸夾角的角平分線。 圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號），那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。 反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱,并且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱。

與正比例函數(shù)交點(diǎn)

設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點(diǎn)，則n^2+4k·m≥（不小于）0。

編輯本段反比例函數(shù)的應(yīng)用舉例

【例1】反比例函數(shù) 的圖象上有一點(diǎn)P（m, n）其坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的兩根，且P到原點(diǎn)的距離為根號13，求該反比例函數(shù)的解析式． 分析： 要求反比例函數(shù)解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關(guān)于k的方程． 解：∵ m, n是關(guān)于t的方程t^2+3t+k=0的兩根 ∴ m+n=-3，mn=k, 又 PO=根號13， 反比例函數(shù)圖象

∴m^2+n^2=13， ∴(m+n^2-2mn=13， ∴ 9-2k=13． ∴ k=-2 當(dāng) k=-2時，△=9+20， ∴ k=-2符合條件， 【例2】直線與位于第二象限的雙曲線 相交于A、A1兩點(diǎn)，過其中一點(diǎn)A向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C，矩形ABOC的面積為6，求： （1）求雙曲線的解析式 分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點(diǎn)到x軸和y軸的垂線段， 設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n），則AB=|n|, AC=|m|， 根據(jù)矩形的面積公式知|m·n|=6.

編輯本段畫法

1）列表 如 x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ...

y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ...

2)在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn) 3）用平滑的曲線描出點(diǎn) 常見畫法

1.當(dāng)雙曲線在一三象限，K0，在每個象限內(nèi)，Y隨X的增大而減小。與X及Y軸無交點(diǎn)。 2.當(dāng)雙曲線在二四象限，K0，在每個象限內(nèi)，Y隨X的增大而增大。與X及Y軸無交點(diǎn)。 當(dāng)兩個數(shù)相等時那么呈彎月型。

編輯本段典型題目

1、已知一次函數(shù)y=-x+6和反比例函數(shù)y=k/x（k≠0） （1）k滿足什么條件時，這兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像有兩個交點(diǎn)？ （2）當(dāng)圖像有兩個交點(diǎn)時（設(shè)為A和B），判斷∠AOB是銳角、鈍角還是直角？說明理由。 解（1）一次函數(shù)y=-x+6和反比例函數(shù)y=k/x（k不等于零）有兩個交點(diǎn)，即 -x+6=k/x 化簡的x^2-6x+k=0 有兩個交點(diǎn) 則方程有兩個不同的解 即6^2-4k0 所以k9且k不等于0 （2）當(dāng)0k9時 兩交點(diǎn)在第一象限所以∠AOB是銳角 當(dāng)k0時 兩交點(diǎn)分別在第二和第四象限所以∠AOB是鈍角 2、已知函數(shù)y=(m-1)x^(m^2-m-1). （1）當(dāng)m為何值時，y是x的正比例函數(shù)? （2）當(dāng)m為何值時，y是x 的反比例函數(shù)？ 解（1）正比例函數(shù)則x次數(shù)是1 m^2-m-1=1 (m-2)(m+1)=0 m=2,m=-1 系數(shù)不等于0 m-1≠0 所以m=2,m=-1 （2）反比例函數(shù)則x次數(shù)是-1 m^2-m-1=-1 m(m-1)=0 m=0,m=1 系數(shù)不等于0 m-1≠0 所以m=0 3、一矩形的面積為24cm^2，則該矩形的長x cm與寬y cm之間的關(guān)系是什么?請寫出函數(shù)表達(dá)式，若要求矩形的各邊長均為整數(shù)，請畫出所有可能的的矩形。 解 面積x*y=24 函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=24/x(0x) 矩形的各邊長均為整數(shù) 可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24

反比例函數(shù)定義

反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱的兩條曲線,反比例函數(shù)圖象中每一象限的每一條曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標(biāo)軸相交（y≠0）。

一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=k/x(k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。因?yàn)閥=k/x是一個分式，所以自變量X的取值范圍是X≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x^（-1）。表達(dá)式為：x是自變量，y是因變量，y是x的函數(shù)。

反比例函數(shù)的定義

函數(shù)y=k/x（k為常數(shù)，x不等于0）叫做反比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)，x是自變量，y是函數(shù)值自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

什么是反比例函數(shù)？

反比例函數(shù)表達(dá)式 y＝k／x 其中X是自變量，Y是X的函數(shù) y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） （即：y等于x的負(fù)壹次方） y=k\x(k為常數(shù)且k≠0），x≠0） 編輯本段反比例函數(shù)的自變量的取值范圍 ① k ≠ 0; ②在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實(shí)數(shù) ; ③函數(shù) y 的取值范圍也是任意非零實(shí)數(shù)。 編輯本段反比例函數(shù)圖象 反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱的雙曲線（hyperbola）, 反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標(biāo)軸相交（K≠0）。 編輯本段反比例函數(shù)性質(zhì) 1.當(dāng)k0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi),y隨x的增大而增大。 2.k0時，函數(shù)在x0上同為減函數(shù)、在x0上同為減函數(shù)；k0時，函數(shù)在x0上為增函數(shù)、在x0上同為增函數(shù)。 定義域?yàn)閤≠0；值域?yàn)閥≠0。 3.因?yàn)樵趛=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。 4. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1＝S2=|K| 5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。 6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號），那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。 7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點(diǎn)，則nsup2+4k·m≥（不小于）0。 8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。 9.反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱,并且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱. 10.反比例上一點(diǎn)m向x、y分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點(diǎn)）的面積為|k| 11.k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。 12.|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。 編輯本段反比例函數(shù)的應(yīng)用舉例 【例1】反比例函數(shù) 的圖象上有一點(diǎn)P（m, n）其坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的兩根，且P到原點(diǎn)的距離為根號13，求該反比例函數(shù)的解析式． 分析： 要求反比例函數(shù)解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關(guān)于k的方程． 解： ∵ m, n是關(guān)于t的方程t2+3t+k=0的兩根 ∴ m+n=-3，mn=k, 又 PO=根號13， ∴m2+n2=13， ∴（m+n）2-2mn=13， ∴ 9-2k=13． ∴ k=-2 當(dāng) k=-2時，△=9+2＞0， ∴ k=-2符合條件， 【例2】直線 與位于第二象限的雙曲線 相交于A、A1兩點(diǎn)，過其中一點(diǎn)A向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C，矩形ABOC的面積為6，求： （1）直線與雙曲線的解析式； （2）點(diǎn)A、A1的坐標(biāo). 分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點(diǎn)到x軸和y軸的垂線段， 設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n），則AB=|n|, AC=|m|， 根據(jù)矩形的面積公式知|m·n|=6. 編輯本段反比例函數(shù)的畫法 1）列表 如 x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ... y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ... 2)在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn) 3）用平滑的曲線描出點(diǎn) 常見畫法 1.當(dāng)雙曲線在一三象限，K＞0，在每個象限內(nèi)，Y隨X的增大而減小。與X及Y軸無交點(diǎn)。 2.當(dāng)雙曲線在二四象限，K＜0，在每個象限內(nèi)，Y隨X的增大而增大。與X及Y軸無交點(diǎn)。 編輯本段典型題目 已知一次函數(shù)y=-x+6和反比例函數(shù)y=k/x（k不等于零） 1.k滿足什么條件時，這兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像有兩個交點(diǎn)？ 2.當(dāng)圖像有兩個焦點(diǎn)時（設(shè)為A和B），判斷∠AOB是銳角、鈍角還是直角？說明理由。 （1）一次函數(shù)y=-x+6和反比例函數(shù)y=k/x（k不等于零）有兩個交點(diǎn)，即 -x+6=k/x 化簡的x2-6x+k=0 有兩個交點(diǎn) 則方程有兩個不同的解 即62-4k0 所以k9且k不等于0 （2）當(dāng)0k9時 兩交點(diǎn)在第一象限 所以∠AOB是銳角 當(dāng)k0時 兩交點(diǎn)分別在第二和第四象限 所以∠AOB是鈍角 已知函數(shù)y=(m-1)x^m^2-m-1. （1）當(dāng)m為何值時，y是x的正比例函數(shù)? （2）當(dāng)m為何值時，y是x 的反比例函數(shù)？ 一矩形的面積為24cm^2，則該矩形的長x cm與寬y cm之間的關(guān)系是什么?請寫出函數(shù)表達(dá)式，若要求矩形的各邊長均為整數(shù)，請畫出所有可能的的矩形. 1、 正比例函數(shù)則x次數(shù)是1 m2-m-1=1 (m-2)(m+1)=0 m=2,m=-1 系數(shù)不等于0 m-1≠0 所以m=2,m=-1 2、 反比例函數(shù)則x次數(shù)是-1 m2-m-1=-1 m(m-1)=0 m=0,m=1 系數(shù)不等于0 m-1≠0 所以m=0 周長2(x+y)=24 x+y=12 y=-x+12,且0x12 可以取x=1到11，

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什么是反比例函數(shù)定義

一般地，形如y=k/x(k為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

反比例函數(shù)的定義（概念）

反比例函數(shù)

形如 y＝k／x(k為常數(shù)且k≠0) 的函數(shù),叫做反比例函數(shù).

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).

反比例函數(shù)的圖像為雙曲線.

當(dāng)K＞0時,反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一,三象限,是減函數(shù)

當(dāng)K＜0時,反比例函數(shù)圖象經(jīng)過二,四象限,是增函數(shù)

網(wǎng)頁名稱：c語言中反比例函數(shù)定義,反比例函數(shù)表達(dá)
網(wǎng)站網(wǎng)址：http://aaarwkj.com/article22/dssigcc.html

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