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快速傅里葉變換FFT的原理及公式是什么

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快速傅里葉變換(FFT)的原理及公式

原理及公式

非周期性連續(xù)時間信號x(t)的傅里葉變換可以表示為
快速傅里葉變換FFT的原理及公式是什么
  式中計算出來的是信號x(t)的連續(xù)頻譜。但是,在實際的控制系統(tǒng)中能夠得到的是連續(xù)信號x(t)的離散采樣值x(nT)。因此需要利用離散信號x(nT)來計算信號x(t)的頻譜。
  有限長離散信號x(n),n=0,1,…,N-1的DFT定義為:
快速傅里葉變換FFT的原理及公式是什么
  可以看出,DFT需要計算大約N2次乘法和N2次加法。當(dāng)N較大時,這個計算量是很大的。利用WN的對稱性和周期性,將N點DFT分解為兩個N/2點的 DFT,這樣兩個N/2點DFT總的計算量只是原來的一半,即(N/2)2+(N/2)2=N2/2,這樣可以繼續(xù)分解下去,將N/2再分解為N/4點 DFT等。對于N=2m 點的DFT都可以分解為2點的DFT,這樣其計算量可以減少為(N/2)log2N次乘法和Nlog2N次加法。圖1為FFT與DFT-所需運算量與計算點數(shù)的關(guān)系曲線。由圖可以明顯看出FFT算法的優(yōu)越性。
快速傅里葉變換FFT的原理及公式是什么
  將x(n)分解為偶數(shù)與奇數(shù)的兩個序列之和,即
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  x1(n)和x2(n)的長度都是N/2,x1(n)是偶數(shù)序列,x2(n)是奇數(shù)序列,則
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  其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N/2點DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N/2為周期,且WN k+N/2=-WN k,所以X(k)又可表示為:
快速傅里葉變換FFT的原理及公式是什么
  上式的運算可以用圖2表示,根據(jù)其形狀稱之為蝶形運算。依此類推,經(jīng)過m-1次分解,最后將N點DFT分解為N/2個兩點DFT。圖3為8點FFT的分解流程。
快速傅里葉變換FFT的原理及公式是什么
快速傅里葉變換FFT的原理及公式是什么
  FFT算法的原理是通過許多小的更加容易進行的變換去實現(xiàn)大規(guī)模的變換,降低了運算要求,提高了與運算速度。FFT不是DFT的近似運算,它們完全是等效的。

關(guān)于FFT精度的說明:

因為這個變換采用了浮點運算,因此需要足夠的精度,以使在出現(xiàn)舍入誤差時,結(jié)果中的每個組成部分的準確整數(shù)值仍是可辨認的。為了FFT的舍入誤差,應(yīng)該允許增加幾倍log2(log2N)位的二進制。以256為基數(shù)、長度為N字節(jié)的數(shù)可以產(chǎn)生大到(256)2N階的卷積分量,所以為了正確存儲,需要16+log2N位精度,若數(shù)i是浮點尾數(shù)的二進制位數(shù),則有條件: 
  如果i=24,對于任意感興趣(N>256)的N值,單精度是不合適的;如果i=53,也就是采用雙精度,則允許N大于106,相當(dāng)于幾百萬十進制位。所以,用FFT作大數(shù)乘法時,向量數(shù)組選用雙精度類型。

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